Module

Voraussetzungen

Inhalte

Eine Reihe algorithmischer Fragestellungen sind mit Hilfe des Modells der Turingmaschine nicht adäquat modellierbar. Dies gilt vor allem für Probleme, die überabzählbare Strukturen involvieren. Die Vorlesung behandelt algebraische Rechenmodelle, mit deren Hilfe Algorithmen über Strukturen wie den reellen und den komplexen Zahlen formuliert und untersucht werden können. Solche Algorithmen sind beispielsweise Gegenstand in der berechenbaren Geometrie, der Computeralgebra oder der numerischen Mathematik. Die Vorlesung gibt einen Einblick in algorithmische und methodische Fragen, die bei derartigen Modellen eine zentrale Rolle spielen. Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt: • Algebraische Schaltkreise, das Berechnungsmodell von Blum-Shub-Smale • Reelle Komplexitätsklassen: P, NP, NP-Vollständigkeit über den reellen Zahlen • Nullstellenexistenz univariater Polynome: Satz von Sturm, Regel von Descartes • Systeme von Polynomgleichungen: Lösbarkeit über den reellen und den komplexen Zahlen • Sätze von Tarski, Lojasiewicz; zylindrische Dekomposition semi-algebraischer Mengen • Untere Schranken • Gröbnerbasen; Algorithmus von Buchberger • Diskrete Fouriertransformation

Lernziele

Kennenlernen und Verständnis von alternativen (zur Turingmaschine), Zugängen zu Berechenbarkeit und Komplexität. Einblicke in die Bedeutung der Anwendung tiefliegender Methoden beim Entwurf und der Analyse von Algorithmen.

Prüfungsleistung

• mündliche Prüfung, 30-45 Minuten

Bemerkungen

• Studiengang Informatik M.Sc.: Wahlpflichtmodul im Komplex „Grundlagen der Informatik“ (Niveaustufe 400) • Studiengang Angewandte Mathematik M.Sc.: Wahlpflichtmodul im Komplex „Analysis / Algebra / Kombinatorik“ • Studiengang Mathematik B.Sc.: Wahlpflichtmodul im Komplex „Vertiefung“, im begrenzten Umfang • Studiengang Wirtschaftsmathematik B.Sc.: Wahlpflichtmodul im Komplex „Vertiefung“, im begrenzten Umfang