Module

Voraussetzungen

Inhalte

• Mengenalgebren und Maße (σ-Algebren und ihre Erzeuger, äußere Maße, Prämaße, Maße, Caratheodory-Bedingung, Fortsetzung von Prämaßen auf Maße, Lebesguesches Maß auf R, Eindeutigkeitssätze für Maße) • Messbare Funktionen und Integration (Messbare Abbildungen und Bildmaße, Integration messbarer Funktionen, Sätze von Beppo Levi, Fatou, Lebesgue, Maße mit Dichten, Satz von Radon-Nikodym) • Produktmaße (Produkte messbarer Räume, Produktmaße, Satz von Fubini, Lebesgue-Maß im n-dimensionalen Raum, Transformationsatz) • Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsräume, Zufallsvariable und deren Verteilung, Konvergenz von Zufallsgrößen, Unabhängigkeit, Produkte und Summen unabhängiger Zufallsgrößen,unendliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Null-Eins-Gesetze, Gesetze der Großen Zahlen) • Bedingte Erwartungswerte - Martingale (Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte, Filtrationen, adaptierte Familien von Zufallsgrößen, Martingale, Anwendungen in der Finanzmathematik)

Lernziele

Ein wichtiges Lernziel ist die Schulung des Abstraktionsvermögens. Die Studierenden sollen befähigt werden, wahrscheinlichkeitstheoretische Fragestellungen in einen allgemeineren Kontext einzubinden und Querverbindungen zwischen einzelnen Zweigen der Wahrscheinlichkeitstheorie und zwischen verschiedenen mathematischen Disziplinen herzustellen.

Prüfungsleistung

• Klausur, 90 min. ODER • mündliche Prüfung, 30 min. In der ersten Lehrveranstaltung wird bekanntgegeben, ob die Prüfungsleistung in schriftlicher oder mündlicher Form zu erbringen ist.

Bemerkungen

• Studiengang Angewandte Mathematik M. Sc: Einordnung als Vertiefungsmodul (Wahlpflichtmodul)